解決{c}{2x+2y=4}{-2x+3y=-9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { - 2 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+2y=4$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$2x=-2y+4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -2y+4。

$$x=-y+2$$

在另一個方程式 -2x+3y=-9 中以 -y+2 代入 x在方程式。

$$-2\left(-y+2\right)+3y=-9$$

-2 乘上 -y+2。

$$2y-4+3y=-9$$

將 2y 加到 3y。

$$5y-4=-9$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$5y=-5$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-1$$

在 x=-y+2 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-1\right)+2$$

-1 乘上 -1。

$$x=1+2$$

將 2 加到 1。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\left(-9\right)\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

讓 2x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 4,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\left(-9\right)$$

化簡。

$$-4x-4y=-8,-4x+6y=-18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-4y=-8 減去 -4x+6y=-18。

$$-4x+4x-4y-6y=-8+18$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-6y=-8+18$$

將 -4y 加到 -6y。

$$-10y=-8+18$$

將 -8 加到 18。

$$-10y=10$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=-1$$

在 -2x+3y=-9 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+3\left(-1\right)=-9$$

3 乘上 -1。

$$-2x-3=-9$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-6$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-1$$