解決{c}{-3a+5b=11}{6a+2b=26} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 a + 5 b = 11 } \\ { 6 a + 2 b = 26 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=3$$

$$b=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$-3a+5b=11$$

從方程式兩邊減去 5b。

$$-3a=-5b+11$$

將兩邊同時除以 -3。

$$a=-\frac{1}{3}\left(-5b+11\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -5b+11。

$$a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}$$

在另一個方程式 6a+2b=26 中以 \frac{5b-11}{3} 代入 a在方程式。

$$6\left(\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}\right)+2b=26$$

6 乘上 \frac{5b-11}{3}。

$$10b-22+2b=26$$

將 10b 加到 2b。

$$12b-22=26$$

將 22 加到方程式的兩邊。

$$12b=48$$

將兩邊同時除以 12。

$$b=4$$

在 a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3} 中以 4 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{5}{3}\times 4-\frac{11}{3}$$

\frac{5}{3} 乘上 4。

$$a=\frac{20-11}{3}$$

將 -\frac{11}{3} 與 \frac{20}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{5}{-3\times 2-5\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{3}{-3\times 2-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&\frac{5}{36}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\times 11+\frac{5}{36}\times 26\\\frac{1}{6}\times 11+\frac{1}{12}\times 26\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=3,b=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

讓 -3a 和 6a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$6\left(-3\right)a+6\times 5b=6\times 11,-3\times 6a-3\times 2b=-3\times 26$$

化簡。

$$-18a+30b=66,-18a-6b=-78$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -18a+30b=66 減去 -18a-6b=-78。

$$-18a+18a+30b+6b=66+78$$

將 -18a 加到 18a。 -18a 和 18a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$30b+6b=66+78$$

將 30b 加到 6b。

$$36b=66+78$$

將 66 加到 78。

$$36b=144$$

將兩邊同時除以 36。

$$b=4$$

在 6a+2b=26 中以 4 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$6a+2\times 4=26$$

2 乘上 4。

$$6a+8=26$$

從方程式兩邊減去 8。

$$6a=18$$

將兩邊同時除以 6。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=4$$