解決{c}{-2x+7y=10}{3x+7y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 7 y = 10 } \\ { 3 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y=\frac{34}{35}\approx 0.971428571$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+7y=10$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$-2x=-7y+10$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -7y+10。

$$x=\frac{7}{2}y-5$$

在另一個方程式 3x+7y=2 中以 \frac{7y}{2}-5 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{7}{2}y-5\right)+7y=2$$

3 乘上 \frac{7y}{2}-5。

$$\frac{21}{2}y-15+7y=2$$

將 \frac{21y}{2} 加到 7y。

$$\frac{35}{2}y-15=2$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$\frac{35}{2}y=17$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{35}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{34}{35}$$

在 x=\frac{7}{2}y-5 中以 \frac{34}{35} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{34}{35}-5$$

\frac{7}{2} 乘上 \frac{34}{35} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{17}{5}-5$$

將 -5 加到 \frac{17}{5}。

$$x=-\frac{8}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}\\-\frac{3}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{2}{-2\times 7-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{35}&\frac{2}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{35}\times 10+\frac{2}{35}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{34}{35}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+7y=10 減去 3x+7y=2。

$$-2x-3x+7y-7y=10-2$$

將 7y 加到 -7y。 7y 和 -7y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2x-3x=10-2$$

將 -2x 加到 -3x。

$$-5x=10-2$$

將 10 加到 -2。

$$-5x=8$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{8}{5}$$

在 3x+7y=2 中以 -\frac{8}{5} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3\left(-\frac{8}{5}\right)+7y=2$$

3 乘上 -\frac{8}{5}。

$$-\frac{24}{5}+7y=2$$

將 \frac{24}{5} 加到方程式的兩邊。

$$7y=\frac{34}{5}$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=\frac{34}{35}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$