解決{l}{-7x-7y=14}{x+5y=-18} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array}{l}{ - 7 x - 7 y = 14 }\\{ x + 5 y = - 18 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-7x-7y=14,x+5y=-18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-7x-7y=14$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$-7x=7y+14$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=-\frac{1}{7}\left(7y+14\right)$$

-\frac{1}{7} 乘上 14+7y。

$$x=-y-2$$

在另一個方程式 x+5y=-18 中以 -y-2 代入 x在方程式。

$$-y-2+5y=-18$$

將 -y 加到 5y。

$$4y-2=-18$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$4y=-16$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-4$$

在 x=-y-2 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-4\right)-2$$

-1 乘上 -4。

$$x=4-2$$

將 -2 加到 4。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-7x-7y=14,x+5y=-18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-7\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-7\times 5-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{-7\times 5-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{-7\times 5-\left(-7\right)}&-\frac{7}{-7\times 5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{28}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{28}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{28}\times 14-\frac{1}{4}\left(-18\right)\\\frac{1}{28}\times 14+\frac{1}{4}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-7x-7y=14,x+5y=-18$$

讓 -7x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7。

$$-7x-7y=14,-7x-7\times 5y=-7\left(-18\right)$$

化簡。

$$-7x-7y=14,-7x-35y=126$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -7x-7y=14 減去 -7x-35y=126。

$$-7x+7x-7y+35y=14-126$$

將 -7x 加到 7x。 -7x 和 7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-7y+35y=14-126$$

將 -7y 加到 35y。

$$28y=14-126$$

將 14 加到 -126。

$$28y=-112$$

將兩邊同時除以 28。

$$y=-4$$

在 x+5y=-18 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+5\left(-4\right)=-18$$

5 乘上 -4。

$$x-20=-18$$

將 20 加到方程式的兩邊。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-4$$