解決{r}{x-5y=9}{-4x+y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { r } { x - 5 y = 9 } \\ { - 4 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{54}{19} = -2\frac{16}{19} \approx -2.842105263$$

$$y = -\frac{45}{19} = -2\frac{7}{19} \approx -2.368421053$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-5y=9,-4x+y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-5y=9$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$x=5y+9$$

在另一個方程式 -4x+y=9 中以 5y+9 代入 x在方程式。

$$-4\left(5y+9\right)+y=9$$

-4 乘上 5y+9。

$$-20y-36+y=9$$

將 -20y 加到 y。

$$-19y-36=9$$

將 36 加到方程式的兩邊。

$$-19y=45$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=-\frac{45}{19}$$

在 x=5y+9 中以 -\frac{45}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=5\left(-\frac{45}{19}\right)+9$$

5 乘上 -\frac{45}{19}。

$$x=-\frac{225}{19}+9$$

將 9 加到 -\frac{225}{19}。

$$x=-\frac{54}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{54}{19},y=-\frac{45}{19}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-5y=9,-4x+y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 9-\frac{5}{19}\times 9\\-\frac{4}{19}\times 9-\frac{1}{19}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{54}{19}\\-\frac{45}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{54}{19},y=-\frac{45}{19}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-5y=9,-4x+y=9$$

讓 x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-4x-4\left(-5\right)y=-4\times 9,-4x+y=9$$

化簡。

$$-4x+20y=-36,-4x+y=9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x+20y=-36 減去 -4x+y=9。

$$-4x+4x+20y-y=-36-9$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-y=-36-9$$

將 20y 加到 -y。

$$19y=-36-9$$

將 -36 加到 -9。

$$19y=-45$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=-\frac{45}{19}$$

在 -4x+y=9 中以 -\frac{45}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x-\frac{45}{19}=9$$

將 \frac{45}{19} 加到方程式的兩邊。

$$-4x=\frac{216}{19}$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{54}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{54}{19},y=-\frac{45}{19}$$