解決{r}{6x+y=4}{x-4y=19} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+y=4,x-4y=19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+y=4$$

從方程式兩邊減去 y。

$$6x=-y+4$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -y+4。

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 x-4y=19 中以 -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

將 -\frac{y}{6} 加到 -4y。

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{3}。

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{25}{6}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{22}{5}$$

在 x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3} 中以 -\frac{22}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

-\frac{1}{6} 乘上 -\frac{22}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 \frac{11}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{7}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+y=4,x-4y=19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+y=4,x-4y=19$$

讓 6x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

化簡。

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+y=4 減去 6x-24y=114。

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y+24y=4-114$$

將 y 加到 24y。

$$25y=4-114$$

將 4 加到 -114。

$$25y=-110$$

將兩邊同時除以 25。

$$y=-\frac{22}{5}$$

在 x-4y=19 中以 -\frac{22}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

-4 乘上 -\frac{22}{5}。

$$x+\frac{88}{5}=19$$

從方程式兩邊減去 \frac{88}{5}。

$$x=\frac{7}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$