解決{l}{y-x=6}{2x+2y=26} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - x = 6 } \\ { 2 x + 2 y = 26 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-x=6,2y+2x=26$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-x=6$$

將 x 加到方程式的兩邊。

$$y=x+6$$

在另一個方程式 2y+2x=26 中以 x+6 代入 y在方程式。

$$2\left(x+6\right)+2x=26$$

2 乘上 x+6。

$$2x+12+2x=26$$

將 2x 加到 2x。

$$4x+12=26$$

從方程式兩邊減去 12。

$$4x=14$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{7}{2}$$

在 y=x+6 中以 \frac{7}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{7}{2}+6$$

將 6 加到 \frac{7}{2}。

$$y=\frac{19}{2}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-x=6,2y+2x=26$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 26\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 26\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-x=6,2y+2x=26$$

讓 y 和 2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2y+2\left(-1\right)x=2\times 6,2y+2x=26$$

化簡。

$$2y-2x=12,2y+2x=26$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2y-2x=12 減去 2y+2x=26。

$$2y-2y-2x-2x=12-26$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2x-2x=12-26$$

將 -2x 加到 -2x。

$$-4x=12-26$$

將 12 加到 -26。

$$-4x=-14$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=\frac{7}{2}$$

在 2y+2x=26 中以 \frac{7}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y+2\times \frac{7}{2}=26$$

2 乘上 \frac{7}{2}。

$$2y+7=26$$

從方程式兩邊減去 7。

$$2y=19$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{19}{2}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$