解決{l}{y=9-2x}{3x+2y=16} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 9 - 2 x } \\ { 3 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=2$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=9$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+2x=9$$

從方程式兩邊減去 2x。

$$y=-2x+9$$

在另一個方程式 2y+3x=16 中以 -2x+9 代入 y在方程式。

$$2\left(-2x+9\right)+3x=16$$

2 乘上 -2x+9。

$$-4x+18+3x=16$$

將 -4x 加到 3x。

$$-x+18=16$$

從方程式兩邊減去 18。

$$-x=-2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=2$$

在 y=-2x+9 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-2\times 2+9$$

-2 乘上 2。

$$y=-4+9$$

將 9 加到 -4。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=9$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 9+2\times 16\\2\times 9-16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=5,x=2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=9$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

讓 y 和 2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2y+2\times 2x=2\times 9,2y+3x=16$$

化簡。

$$2y+4x=18,2y+3x=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2y+4x=18 減去 2y+3x=16。

$$2y-2y+4x-3x=18-16$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x-3x=18-16$$

將 4x 加到 -3x。

$$x=18-16$$

將 18 加到 -16。

$$x=2$$

在 2y+3x=16 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y+3\times 2=16$$

3 乘上 2。

$$2y+6=16$$

從方程式兩邊減去 6。

$$2y=10$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=2$$