解決{l}{y=3x-2}{5x+4y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=1$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$y-3x=-2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-3x=-2$$

將 3x 加到方程式的兩邊。

$$y=3x-2$$

在另一個方程式 4y+5x=9 中以 3x-2 代入 y在方程式。

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

4 乘上 3x-2。

$$12x-8+5x=9$$

將 12x 加到 5x。

$$17x-8=9$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$17x=17$$

將兩邊同時除以 17。

$$x=1$$

在 y=3x-2 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=3-2$$

將 -2 加到 3。

$$y=1$$

現已成功解出系統。

$$y=1,x=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$y-3x=-2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=1,x=1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$y-3x=-2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

讓 y 和 4y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

化簡。

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4y-12x=-8 減去 4y+5x=9。

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

將 4y 加到 -4y。 4y 和 -4y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12x-5x=-8-9$$

將 -12x 加到 -5x。

$$-17x=-8-9$$

將 -8 加到 -9。

$$-17x=-17$$

將兩邊同時除以 -17。

$$x=1$$

在 4y+5x=9 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$4y+5=9$$

從方程式兩邊減去 5。

$$4y=4$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=1$$

現已成功解出系統。

$$y=1,x=1$$