解決{l}{y=-5x+1}{5x+2y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-1$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$y+5x=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+5x=1$$

從方程式兩邊減去 5x。

$$y=-5x+1$$

在另一個方程式 2y+5x=7 中以 -5x+1 代入 y在方程式。

$$2\left(-5x+1\right)+5x=7$$

2 乘上 -5x+1。

$$-10x+2+5x=7$$

將 -10x 加到 5x。

$$-5x+2=7$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-5x=5$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-1$$

在 y=-5x+1 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

-5 乘上 -1。

$$y=5+1$$

將 1 加到 5。

$$y=6$$

現已成功解出系統。

$$y=6,x=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$y+5x=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\times 2}&-\frac{5}{5-5\times 2}\\-\frac{2}{5-5\times 2}&\frac{1}{5-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+7\\\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=6,x=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$y+5x=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y+5x=1 減去 2y+5x=7。

$$y-2y+5x-5x=1-7$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-2y=1-7$$

將 y 加到 -2y。

$$-y=1-7$$

將 1 加到 -7。

$$-y=-6$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=6$$

在 2y+5x=7 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2\times 6+5x=7$$

2 乘上 6。

$$12+5x=7$$

從方程式兩邊減去 12。

$$5x=-5$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$y=6,x=-1$$