解決{l}{y=-4x-3}{y=-2x+1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = - 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-2$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$y+4x=-3$$

考慮第二個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+4x=-3$$

從方程式兩邊減去 4x。

$$y=-4x-3$$

在另一個方程式 y+2x=1 中以 -4x-3 代入 y在方程式。

$$-4x-3+2x=1$$

將 -4x 加到 2x。

$$-2x-3=1$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$-2x=4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-2$$

在 y=-4x-3 中以 -2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-4\left(-2\right)-3$$

-4 乘上 -2。

$$y=8-3$$

將 -3 加到 8。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=-2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$y+4x=-3$$

考慮第二個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)+2\\\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=5,x=-2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$y+4x=-3$$

考慮第二個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y+4x=-3 減去 y+2x=1。

$$y-y+4x-2x=-3-1$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x-2x=-3-1$$

將 4x 加到 -2x。

$$2x=-3-1$$

將 -3 加到 -1。

$$2x=-4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-2$$

在 y+2x=1 中以 -2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+2\left(-2\right)=1$$

2 乘上 -2。

$$y-4=1$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$y=5,x=-2$$