解決{l}{x-y=5}{5x-8y=19} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 5 } \\ { 5 x - 8 y = 19 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=5,5x-8y=19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=5$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+5$$

在另一個方程式 5x-8y=19 中以 y+5 代入 x在方程式。

$$5\left(y+5\right)-8y=19$$

5 乘上 y+5。

$$5y+25-8y=19$$

將 5y 加到 -8y。

$$-3y+25=19$$

從方程式兩邊減去 25。

$$-3y=-6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=2$$

在 x=y+5 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2+5$$

將 5 加到 2。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=5,5x-8y=19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{-8-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{-8-\left(-5\right)}&\frac{1}{-8-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\\\frac{5}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=5,5x-8y=19$$

讓 x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5x+5\left(-1\right)y=5\times 5,5x-8y=19$$

化簡。

$$5x-5y=25,5x-8y=19$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-5y=25 減去 5x-8y=19。

$$5x-5x-5y+8y=25-19$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y+8y=25-19$$

將 -5y 加到 8y。

$$3y=25-19$$

將 25 加到 -19。

$$3y=6$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=2$$

在 5x-8y=19 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-8\times 2=19$$

-8 乘上 2。

$$5x-16=19$$

將 16 加到方程式的兩邊。

$$5x=35$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=2$$