解決{l}{x-5y=-6}{-4x+y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 5 y = - 6 } \\ { - 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-5y=-6$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$x=5y-6$$

在另一個方程式 -4x+y=5 中以 5y-6 代入 x在方程式。

$$-4\left(5y-6\right)+y=5$$

-4 乘上 5y-6。

$$-20y+24+y=5$$

將 -20y 加到 y。

$$-19y+24=5$$

從方程式兩邊減去 24。

$$-19y=-19$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=1$$

在 x=5y-6 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=5-6$$

將 -6 加到 5。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\left(-6\right)-\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{4}{19}\left(-6\right)-\frac{1}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

讓 x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-4x-4\left(-5\right)y=-4\left(-6\right),-4x+y=5$$

化簡。

$$-4x+20y=24,-4x+y=5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x+20y=24 減去 -4x+y=5。

$$-4x+4x+20y-y=24-5$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-y=24-5$$

將 20y 加到 -y。

$$19y=24-5$$

將 24 加到 -5。

$$19y=19$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=1$$

在 -4x+y=5 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+1=5$$

從方程式兩邊減去 1。

$$-4x=4$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=1$$