\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.
解 x、y
x=8
y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333
圖表
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x-3y=4
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。
y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x-3y=4
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=3y+4
將 3y 加到方程式的兩邊。
-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}
在另一個方程式 -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} 中以 3y+4 代入 x在方程式。
-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}
-\frac{1}{2} 乘上 3y+4。
-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}
將 -\frac{3y}{2} 加到 y。
-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}
將 2 加到方程式的兩邊。
y=\frac{4}{3}
將兩邊同時乘上 -2。
x=3\times \frac{4}{3}+4
在 x=3y+4 中以 \frac{4}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=4+4
3 乘上 \frac{4}{3}。
x=8
將 4 加到 4。
x=8,y=\frac{4}{3}
現已成功解出系統。
x-3y=4
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。
y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)
計算。
x=8,y=\frac{4}{3}
解出矩陣元素 x 和 y。
x-3y=4
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3y。
y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}
讓 x 和 -\frac{x}{2} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -\frac{1}{2}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}
化簡。
-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 減去 -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}。
\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}
將 -\frac{x}{2} 加到 \frac{x}{2}。 -\frac{x}{2} 和 \frac{x}{2} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}
將 \frac{3y}{2} 加到 -y。
\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}
將 -2 加到 \frac{8}{3}。
y=\frac{4}{3}
將兩邊同時乘上 2。
-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}
在 -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} 中以 \frac{4}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-\frac{1}{2}x=-4
從方程式兩邊減去 \frac{4}{3}。
x=8
將兩邊同時乘上 -2。
x=8,y=\frac{4}{3}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}