解決{l}{x+y=36}{5/7=x/y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=15$$

$$y=21$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 變數 y 不能等於 0，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 7y，這是 7,y 的最小公倍數。

$$5y=7x$$

從兩邊減去 7x。

$$5y-7x=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=36$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+36$$

在另一個方程式 -7x+5y=0 中以 -y+36 代入 x在方程式。

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

-7 乘上 -y+36。

$$7y-252+5y=0$$

將 7y 加到 5y。

$$12y-252=0$$

將 252 加到方程式的兩邊。

$$12y=252$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=21$$

在 x=-y+36 中以 21 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-21+36$$

將 36 加到 -21。

$$x=15$$

現已成功解出系統。

$$x=15,y=21$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 變數 y 不能等於 0，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 7y，這是 7,y 的最小公倍數。

$$5y=7x$$

從兩邊減去 7x。

$$5y-7x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=15,y=21$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 變數 y 不能等於 0，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 7y，這是 7,y 的最小公倍數。

$$5y=7x$$

從兩邊減去 7x。

$$5y-7x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

讓 x 和 -7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

化簡。

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -7x-7y=-252 減去 -7x+5y=0。

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

將 -7x 加到 7x。 -7x 和 7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-7y-5y=-252$$

將 -7y 加到 -5y。

$$-12y=-252$$

將兩邊同時除以 -12。

$$y=21$$

在 -7x+5y=0 中以 21 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-7x+5\times 21=0$$

5 乘上 21。

$$-7x+105=0$$

從方程式兩邊減去 105。

$$-7x=-105$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=15$$

現已成功解出系統。

$$x=15,y=21$$