解決{l}{x+2y=-2}{4y=1-3x} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$4y+3x=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=-2$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y-2$$

在另一個方程式 3x+4y=1 中以 -2y-2 代入 x在方程式。

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

3 乘上 -2y-2。

$$-6y-6+4y=1$$

將 -6y 加到 4y。

$$-2y-6=1$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$-2y=7$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-\frac{7}{2}$$

在 x=-2y-2 中以 -\frac{7}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

-2 乘上 -\frac{7}{2}。

$$x=7-2$$

將 -2 加到 7。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$4y+3x=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$4y+3x=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

化簡。

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+6y=-6 減去 3x+4y=1。

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-4y=-6-1$$

將 6y 加到 -4y。

$$2y=-6-1$$

將 -6 加到 -1。

$$2y=-7$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-\frac{7}{2}$$

在 3x+4y=1 中以 -\frac{7}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

4 乘上 -\frac{7}{2}。

$$3x-14=1$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$3x=15$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$