解決{l}{rx-ry=1}{rx-9y=r} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

將 ry 加到方程式的兩邊。

$$rx=ry+1$$

將兩邊同時除以 r。

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

\frac{1}{r} 乘上 ry+1。

$$x=y+\frac{1}{r}$$

在另一個方程式 rx-9y=r 中以 y+\frac{1}{r} 代入 x在方程式。

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

r 乘上 y+\frac{1}{r}。

$$ry+1-9y=r$$

將 ry 加到 -9y。

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

從方程式兩邊減去 1。

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

將兩邊同時除以 r-9。

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

在 x=y+\frac{1}{r} 中以 \frac{r-1}{r-9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

將 \frac{1}{r} 加到 \frac{r-1}{r-9}。

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 rx+\left(-r\right)y=1 減去 rx-9y=r。

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

將 rx 加到 -rx。 rx 和 -rx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

將 -ry 加到 9y。

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

將兩邊同時除以 -r+9。

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

在 rx-9y=r 中以 \frac{1-r}{-r+9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

-9 乘上 \frac{1-r}{-r+9}。

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

將 \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} 加到方程式的兩邊。

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

將兩邊同時除以 r。

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$