解決{l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

從方程式兩邊減去 8。

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

將 by 加到方程式的兩邊。

$$ax=by-8$$

將兩邊同時除以 a。

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a} 乘上 by-8。

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

在另一個方程式 bx+ay+1=0 中以 \frac{by-8}{a} 代入 x在方程式。

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b 乘上 \frac{by-8}{a}。

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

將 \frac{b^{2}y}{a} 加到 ay。

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

將 -\frac{8b}{a} 加到 1。

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{a-8b}{a}。

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

將兩邊同時除以 a+\frac{b^{2}}{a}。

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

在 x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} 中以 \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a} 乘上 \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}。

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

將 -\frac{8}{a} 加到 \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

讓 ax 和 bx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 b，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 a。

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

化簡。

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 減去 abx+a^{2}y+a=0。

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

將 bax 加到 -bax。 bax 和 -bax 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

將 -b^{2}y 加到 -a^{2}y。

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

從方程式兩邊減去 8b-a。

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

將兩邊同時除以 -b^{2}-a^{2}。

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

在 bx+ay+1=0 中以 -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a 乘上 -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}。

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

將 -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} 加到 1。

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}}。

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

將兩邊同時除以 b。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$