解決{l}{ax+by=e}{cx+dy=f} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.$$

解 x、y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$ax+by=e$$

從方程式兩邊減去 by。

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

將兩邊同時除以 a。

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

\frac{1}{a} 乘上 -by+e。

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

在另一個方程式 cx+dy=f 中以 \frac{-by+e}{a} 代入 x在方程式。

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

c 乘上 \frac{-by+e}{a}。

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

將 -\frac{cby}{a} 加到 dy。

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

從方程式兩邊減去 \frac{ce}{a}。

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

將兩邊同時除以 d-\frac{cb}{a}。

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

在 x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a} 中以 \frac{fa-ce}{da-cb} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

-\frac{b}{a} 乘上 \frac{fa-ce}{da-cb}。

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

將 \frac{e}{a} 加到 -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}。

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

讓 ax 和 cx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 c，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 a。

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

化簡。

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 acx+bcy=ec 減去 acx+ady=af。

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

將 cax 加到 -cax。 cax 和 -cax 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

將 cby 加到 -ady。

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

將兩邊同時除以 cb-ad。

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

在 cx+dy=f 中以 \frac{ce-af}{cb-ad} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

d 乘上 \frac{ce-af}{cb-ad}。

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

從方程式兩邊減去 \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad}。

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

將兩邊同時除以 c。

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

解 x、y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$ax+by=e$$

從方程式兩邊減去 by。

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

將兩邊同時除以 a。

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

\frac{1}{a} 乘上 -by+e。

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

在另一個方程式 cx+dy=f 中以 \frac{-by+e}{a} 代入 x在方程式。

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

c 乘上 \frac{-by+e}{a}。

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

將 -\frac{cby}{a} 加到 dy。

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

從方程式兩邊減去 \frac{ce}{a}。

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

將兩邊同時除以 d-\frac{cb}{a}。

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

在 x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a} 中以 \frac{fa-ce}{da-cb} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

-\frac{b}{a} 乘上 \frac{fa-ce}{da-cb}。

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

將 \frac{e}{a} 加到 -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}。

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

讓 ax 和 cx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 c，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 a。

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

化簡。

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 acx+bcy=ec 減去 acx+ady=af。

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

將 cax 加到 -cax。 cax 和 -cax 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

將 cby 加到 -ady。

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

將兩邊同時除以 cb-ad。

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

在 cx+dy=f 中以 \frac{ce-af}{cb-ad} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

d 乘上 \frac{ce-af}{cb-ad}。

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

從方程式兩邊減去 \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad}。

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

將兩邊同時除以 c。

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$