解決{l}{9x+2y=62}{4x+4y=36} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$9x+2y=62$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$9x=-2y+62$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 -2y+62。

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

在另一個方程式 4x+4y=36 中以 \frac{-2y+62}{9} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

4 乘上 \frac{-2y+62}{9}。

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

將 -\frac{8y}{9} 加到 4y。

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

從方程式兩邊減去 \frac{248}{9}。

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{28}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{19}{7}$$

在 x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9} 中以 \frac{19}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

-\frac{2}{9} 乘上 \frac{19}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

將 \frac{62}{9} 與 -\frac{38}{63} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{44}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

讓 9x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

化簡。

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 36x+8y=248 減去 36x+36y=324。

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

將 36x 加到 -36x。 36x 和 -36x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y-36y=248-324$$

將 8y 加到 -36y。

$$-28y=248-324$$

將 248 加到 -324。

$$-28y=-76$$

將兩邊同時除以 -28。

$$y=\frac{19}{7}$$

在 4x+4y=36 中以 \frac{19}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

4 乘上 \frac{19}{7}。

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

從方程式兩邊減去 \frac{76}{7}。

$$4x=\frac{176}{7}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{44}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$