解決{l}{8k+a=3650}{15k+a=150} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

解 k、a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 k: 將 k 單獨置於等號的左邊。

$$8k+a=3650$$

從方程式兩邊減去 a。

$$8k=-a+3650$$

將兩邊同時除以 8。

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -a+3650。

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

在另一個方程式 15k+a=150 中以 -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} 代入 k在方程式。

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

15 乘上 -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}。

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

將 -\frac{15a}{8} 加到 a。

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

從方程式兩邊減去 \frac{27375}{4}。

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{8}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$a=7650$$

在 k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4} 中以 7650 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 k。

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

-\frac{1}{8} 乘上 7650。

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

將 \frac{1825}{4} 與 -\frac{3825}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$k=-500$$

現已成功解出系統。

$$k=-500,a=7650$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 k 和 a。

$$k=-500,a=7650$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8k+a=3650 減去 15k+a=150。

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

將 a 加到 -a。 a 和 -a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8k-15k=3650-150$$

將 8k 加到 -15k。

$$-7k=3650-150$$

將 3650 加到 -150。

$$-7k=3500$$

將兩邊同時除以 -7。

$$k=-500$$

在 15k+a=150 中以 -500 代入 k。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$15\left(-500\right)+a=150$$

15 乘上 -500。

$$-7500+a=150$$

將 7500 加到方程式的兩邊。

$$a=7650$$

現已成功解出系統。

$$k=-500,a=7650$$