解決{l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$78x+40y=1280$$

從方程式兩邊減去 40y。

$$78x=-40y+1280$$

將兩邊同時除以 78。

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78} 乘上 -40y+1280。

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

在另一個方程式 120x+80y=2800 中以 \frac{-20y+640}{39} 代入 x在方程式。

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

120 乘上 \frac{-20y+640}{39}。

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

將 -\frac{800y}{13} 加到 80y。

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

從方程式兩邊減去 \frac{25600}{13}。

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{240}{13}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=45$$

在 x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} 中以 45 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

-\frac{20}{39} 乘上 45。

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

將 \frac{640}{39} 與 -\frac{300}{13} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{20}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

讓 78x 和 120x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 120，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 78。

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

化簡。

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 9360x+4800y=153600 減去 9360x+6240y=218400。

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

將 9360x 加到 -9360x。 9360x 和 -9360x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4800y-6240y=153600-218400$$

將 4800y 加到 -6240y。

$$-1440y=153600-218400$$

將 153600 加到 -218400。

$$-1440y=-64800$$

將兩邊同時除以 -1440。

$$y=45$$

在 120x+80y=2800 中以 45 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$120x+80\times 45=2800$$

80 乘上 45。

$$120x+3600=2800$$

從方程式兩邊減去 3600。

$$120x=-800$$

將兩邊同時除以 120。

$$x=-\frac{20}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$