解決{l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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78x+40y=1280,120x+8y=2800

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

78x+40y=1280

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

78x=-40y+1280

從方程式兩邊減去 40y。

x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)

將兩邊同時除以 78。

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}

\frac{1}{78} 乘上 -40y+1280。

120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800

在另一個方程式 120x+8y=2800 中以 \frac{-20y+640}{39} 代入 x在方程式。

-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800

120 乘上 \frac{-20y+640}{39}。

-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800

將 -\frac{800y}{13} 加到 8y。

-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}

從方程式兩邊減去 \frac{25600}{13}。

y=-\frac{450}{29}

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{696}{13}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}

在 x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} 中以 -\frac{450}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}

-\frac{20}{39} 乘上 -\frac{450}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=\frac{2120}{87}

將 \frac{640}{39} 與 \frac{3000}{377} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}

現已成功解出系統。

78x+40y=1280,120x+8y=2800

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}

解出矩陣元素 x 和 y。

78x+40y=1280,120x+8y=2800

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800

讓 78x 和 120x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 120，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 78。

9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400

化簡。

9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400