解決{l}{6x-y=-1}{6x+y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - y = - 1 } \\ { 6 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-y=-1,6x+y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-y=-1$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$6x=y-1$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(y-1\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 y-1。

$$x=\frac{1}{6}y-\frac{1}{6}$$

在另一個方程式 6x+y=-1 中以 \frac{-1+y}{6} 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{1}{6}y-\frac{1}{6}\right)+y=-1$$

6 乘上 \frac{-1+y}{6}。

$$y-1+y=-1$$

將 y 加到 y。

$$2y-1=-1$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$2y=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=0$$

在 x=\frac{1}{6}y-\frac{1}{6} 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{6},y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-y=-1,6x+y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-1\\6&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{6-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{6-\left(-6\right)}&\frac{6}{6-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-1\right)+\frac{1}{12}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{1}{6},y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-y=-1,6x+y=-1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-y=-1 減去 6x+y=-1。

$$6x-6x-y-y=-1+1$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-y=-1+1$$

將 -y 加到 -y。

$$-2y=-1+1$$

將 -1 加到 1。

$$-2y=0$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=0$$

在 6x+y=-1 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x=-1$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-\frac{1}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{6},y=0$$