解決{l}{6x+2y=300}{3x+5y=600} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+2y=300$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$6x=-2y+300$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -2y+300。

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

在另一個方程式 3x+5y=600 中以 -\frac{y}{3}+50 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

3 乘上 -\frac{y}{3}+50。

$$-y+150+5y=600$$

將 -y 加到 5y。

$$4y+150=600$$

從方程式兩邊減去 150。

$$4y=450$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=\frac{225}{2}$$

在 x=-\frac{1}{3}y+50 中以 \frac{225}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

-\frac{1}{3} 乘上 \frac{225}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

將 50 加到 -\frac{75}{2}。

$$x=\frac{25}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

讓 6x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

化簡。

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+6y=900 減去 18x+30y=3600。

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-30y=900-3600$$

將 6y 加到 -30y。

$$-24y=900-3600$$

將 900 加到 -3600。

$$-24y=-2700$$

將兩邊同時除以 -24。

$$y=\frac{225}{2}$$

在 3x+5y=600 中以 \frac{225}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

5 乘上 \frac{225}{2}。

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

從方程式兩邊減去 \frac{1125}{2}。

$$3x=\frac{75}{2}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{25}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$