解決{l}{5y+2x=5}{y+2x=5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 x = 5 } \\ { y + 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$5y+2x=5$$

從方程式兩邊減去 2x。

$$5y=-2x+5$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=\frac{1}{5}\left(-2x+5\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -2x+5。

$$y=-\frac{2}{5}x+1$$

在另一個方程式 y+2x=5 中以 -\frac{2x}{5}+1 代入 y在方程式。

$$-\frac{2}{5}x+1+2x=5$$

將 -\frac{2x}{5} 加到 2x。

$$\frac{8}{5}x+1=5$$

從方程式兩邊減去 1。

$$\frac{8}{5}x=4$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{5}{2}$$

在 y=-\frac{2}{5}x+1 中以 \frac{5}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{2}{5}\times \frac{5}{2}+1$$

-\frac{2}{5} 乘上 \frac{5}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=-1+1$$

將 1 加到 -1。

$$y=0$$

現已成功解出系統。

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2}&-\frac{2}{5\times 2-2}\\-\frac{1}{5\times 2-2}&\frac{5}{5\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{5}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5y+2x=5 減去 y+2x=5。

$$5y-y+2x-2x=5-5$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y-y=5-5$$

將 5y 加到 -y。

$$4y=5-5$$

將 5 加到 -5。

$$4y=0$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=0$$

在 y+2x=5 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x=5$$

現已成功解出系統。

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$