\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.
解 x、y
x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865
y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892
圖表
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5x-3y=13,-9x-2y=-2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x-3y=13
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=3y+13
將 3y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)
將兩邊同時除以 5。
x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}
\frac{1}{5} 乘上 3y+13。
-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2
在另一個方程式 -9x-2y=-2 中以 \frac{3y+13}{5} 代入 x在方程式。
-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2
-9 乘上 \frac{3y+13}{5}。
-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2
將 -\frac{27y}{5} 加到 -2y。
-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}
將 \frac{117}{5} 加到方程式的兩邊。
y=-\frac{107}{37}
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{37}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}
在 x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5} 中以 -\frac{107}{37} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}
\frac{3}{5} 乘上 -\frac{107}{37} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=\frac{32}{37}
將 \frac{13}{5} 與 -\frac{321}{185} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}
現已成功解出系統。
5x-3y=13,-9x-2y=-2
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}
解出矩陣元素 x 和 y。
5x-3y=13,-9x-2y=-2
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)
讓 5x 和 -9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。
-45x+27y=-117,-45x-10y=-10
化簡。
-45x+45x+27y+10y=-117+10
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -45x+27y=-117 減去 -45x-10y=-10。
27y+10y=-117+10
將 -45x 加到 45x。 -45x 和 45x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
37y=-117+10
將 27y 加到 10y。
37y=-107
將 -117 加到 10。
y=-\frac{107}{37}
將兩邊同時除以 37。
-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2
在 -9x-2y=-2 中以 -\frac{107}{37} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-9x+\frac{214}{37}=-2
-2 乘上 -\frac{107}{37}。
-9x=-\frac{288}{37}
從方程式兩邊減去 \frac{214}{37}。
x=\frac{32}{37}
將兩邊同時除以 -9。
x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}