\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 4 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 2 } \end{array} \right.
解 x、y
x=2
y=3
圖表
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5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x-2y=4
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=2y+4
將 2y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)
將兩邊同時除以 5。
x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}
\frac{1}{5} 乘上 4+2y。
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{3}y=2
在另一個方程式 \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2 中以 \frac{4+2y}{5} 代入 x在方程式。
\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}+\frac{1}{3}y=2
\frac{1}{2} 乘上 \frac{4+2y}{5}。
\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}=2
將 \frac{y}{5} 加到 \frac{y}{3}。
\frac{8}{15}y=\frac{8}{5}
從方程式兩邊減去 \frac{2}{5}。
y=3
對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{15}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{4}{5}
在 x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{6+4}{5}
\frac{2}{5} 乘上 3。
x=2
將 \frac{4}{5} 與 \frac{6}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=2,y=3
現已成功解出系統。
5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-2}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{5}{5\times \frac{1}{3}-\left(-2\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{15}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 4+\frac{3}{4}\times 2\\-\frac{3}{16}\times 4+\frac{15}{8}\times 2\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)
計算。
x=2,y=3
解出矩陣元素 x 和 y。
5x-2y=4,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{2}\times 5x+\frac{1}{2}\left(-2\right)y=\frac{1}{2}\times 4,5\times \frac{1}{2}x+5\times \frac{1}{3}y=5\times 2
讓 5x 和 \frac{x}{2} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{2}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。
\frac{5}{2}x-y=2,\frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10
化簡。
\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}x-y-\frac{5}{3}y=2-10
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{5}{2}x-y=2 減去 \frac{5}{2}x+\frac{5}{3}y=10。
-y-\frac{5}{3}y=2-10
將 \frac{5x}{2} 加到 -\frac{5x}{2}。 \frac{5x}{2} 和 -\frac{5x}{2} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{8}{3}y=2-10
將 -y 加到 -\frac{5y}{3}。
-\frac{8}{3}y=-8
將 2 加到 -10。
y=3
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times 3=2
在 \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{2}x+1=2
\frac{1}{3} 乘上 3。
\frac{1}{2}x=1
從方程式兩邊減去 1。
x=2
將兩邊同時乘上 2。
x=2,y=3
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}