解決{l}{5x+y=5}{5x+3y=15} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 5 } \\ { 5 x + 3 y = 15 } \end{array} \right\}$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$5x=-y+5$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -y+5。

$$x=-\frac{1}{5}y+1$$

在另一個方程式 5x+3y=15 中以 -\frac{y}{5}+1 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{1}{5}y+1\right)+3y=15$$

5 乘上 -\frac{y}{5}+1。

$$-y+5+3y=15$$

將 -y 加到 3y。

$$2y+5=15$$

從方程式兩邊減去 5。

$$2y=10$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=5$$

在 x=-\frac{1}{5}y+1 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\times 5+1$$

-\frac{1}{5} 乘上 5。

$$x=-1+1$$

將 1 加到 -1。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-5}&-\frac{1}{5\times 3-5}\\-\frac{5}{5\times 3-5}&\frac{5}{5\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 5-\frac{1}{10}\times 15\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+y=5,5x+3y=15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+y=5 減去 5x+3y=15。

$$5x-5x+y-3y=5-15$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-3y=5-15$$

將 y 加到 -3y。

$$-2y=5-15$$

將 5 加到 -15。

$$-2y=-10$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=5$$

在 5x+3y=15 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+3\times 5=15$$

3 乘上 5。

$$5x+15=15$$

從方程式兩邊減去 15。

$$5x=0$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=5$$