解決{l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=160$$

$$y=180$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 若要尋找 2x+4y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$1020=2060-2x-4y$$

換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$2060-2x-4y=1020$$

從兩邊減去 2060。

$$-2x-4y=1020-2060$$

從 1020 減去 2060 會得到 -1040。

$$-2x-4y=-1040$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+7y=2060$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$5x=-7y+2060$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -7y+2060。

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

在另一個方程式 -2x-4y=-1040 中以 -\frac{7y}{5}+412 代入 x在方程式。

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

-2 乘上 -\frac{7y}{5}+412。

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

將 \frac{14y}{5} 加到 -4y。

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

將 824 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{6}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=180$$

在 x=-\frac{7}{5}y+412 中以 180 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

-\frac{7}{5} 乘上 180。

$$x=-252+412$$

將 412 加到 -252。

$$x=160$$

現已成功解出系統。

$$x=160,y=180$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 若要尋找 2x+4y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$1020=2060-2x-4y$$

換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$2060-2x-4y=1020$$

從兩邊減去 2060。

$$-2x-4y=1020-2060$$

從 1020 減去 2060 會得到 -1040。

$$-2x-4y=-1040$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=160,y=180$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 若要尋找 2x+4y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$1020=2060-2x-4y$$

換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$2060-2x-4y=1020$$

從兩邊減去 2060。

$$-2x-4y=1020-2060$$

從 1020 減去 2060 會得到 -1040。

$$-2x-4y=-1040$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

讓 5x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

化簡。

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10x-14y=-4120 減去 -10x-20y=-5200。

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

將 -10x 加到 10x。 -10x 和 10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-14y+20y=-4120+5200$$

將 -14y 加到 20y。

$$6y=-4120+5200$$

將 -4120 加到 5200。

$$6y=1080$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=180$$

在 -2x-4y=-1040 中以 180 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-4\times 180=-1040$$

-4 乘上 180。

$$-2x-720=-1040$$

將 720 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-320$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=160$$

現已成功解出系統。

$$x=160,y=180$$