\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 2 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-1
y=1
圖表
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5x+3y=-2,2x-2y=-4
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x+3y=-2
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=-3y-2
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{5}\left(-3y-2\right)
將兩邊同時除以 5。
x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}
\frac{1}{5} 乘上 -3y-2。
2\left(-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}\right)-2y=-4
在另一個方程式 2x-2y=-4 中以 \frac{-3y-2}{5} 代入 x在方程式。
-\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}-2y=-4
2 乘上 \frac{-3y-2}{5}。
-\frac{16}{5}y-\frac{4}{5}=-4
將 -\frac{6y}{5} 加到 -2y。
-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}
將 \frac{4}{5} 加到方程式的兩邊。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{16}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{-3-2}{5}
在 x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-1
將 -\frac{2}{5} 與 -\frac{3}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-1,y=1
現已成功解出系統。
5x+3y=-2,2x-2y=-4
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{3}{16}\left(-4\right)\\\frac{1}{8}\left(-2\right)-\frac{5}{16}\left(-4\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=-1,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
5x+3y=-2,2x-2y=-4
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 5x+2\times 3y=2\left(-2\right),5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\left(-4\right)
讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。
10x+6y=-4,10x-10y=-20
化簡。
10x-10x+6y+10y=-4+20
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+6y=-4 減去 10x-10y=-20。
6y+10y=-4+20
將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
16y=-4+20
將 6y 加到 10y。
16y=16
將 -4 加到 20。
y=1
將兩邊同時除以 16。
2x-2=-4
在 2x-2y=-4 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x=-2
將 2 加到方程式的兩邊。
x=-1
將兩邊同時除以 2。
x=-1,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}