解決{l}{44=112k+b}{16=82k+b} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

解 k、b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$112k+b=44$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$82k+b=16$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$112k+b=44,82k+b=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 k: 將 k 單獨置於等號的左邊。

$$112k+b=44$$

從方程式兩邊減去 b。

$$112k=-b+44$$

將兩邊同時除以 112。

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

\frac{1}{112} 乘上 -b+44。

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

在另一個方程式 82k+b=16 中以 -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} 代入 k在方程式。

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

82 乘上 -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}。

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

將 -\frac{41b}{56} 加到 b。

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

從方程式兩邊減去 \frac{451}{14}。

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{15}{56}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=-\frac{908}{15}$$

在 k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28} 中以 -\frac{908}{15} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 k。

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

-\frac{1}{112} 乘上 -\frac{908}{15} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

將 \frac{11}{28} 與 \frac{227}{420} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$k=\frac{14}{15}$$

現已成功解出系統。

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$112k+b=44$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$82k+b=16$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$112k+b=44,82k+b=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 k 和 b。

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$112k+b=44$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$82k+b=16$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$112k+b=44,82k+b=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 112k+b=44 減去 82k+b=16。

$$112k-82k+b-b=44-16$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$112k-82k=44-16$$

將 112k 加到 -82k。

$$30k=44-16$$

將 44 加到 -16。

$$30k=28$$

將兩邊同時除以 30。

$$k=\frac{14}{15}$$

在 82k+b=16 中以 \frac{14}{15} 代入 k。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

82 乘上 \frac{14}{15}。

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

從方程式兩邊減去 \frac{1148}{15}。

$$b=-\frac{908}{15}$$

現已成功解出系統。

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$