解決{l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=0.1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$40x+720y=112$$

從方程式兩邊減去 720y。

$$40x=-720y+112$$

將兩邊同時除以 40。

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

\frac{1}{40} 乘上 -720y+112。

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

在另一個方程式 120x+2205y=340.5 中以 -18y+\frac{14}{5} 代入 x在方程式。

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

120 乘上 -18y+\frac{14}{5}。

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

將 -2160y 加到 2205y。

$$45y+336=340.5$$

從方程式兩邊減去 336。

$$45y=4.5$$

將兩邊同時除以 45。

$$y=0.1$$

在 x=-18y+\frac{14}{5} 中以 0.1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

-18 乘上 0.1。

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

將 \frac{14}{5} 與 -1.8 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=0.1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

讓 40x 和 120x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 120，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 40。

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

化簡。

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4800x+86400y=13440 減去 4800x+88200y=13620。

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

將 4800x 加到 -4800x。 4800x 和 -4800x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$86400y-88200y=13440-13620$$

將 86400y 加到 -88200y。

$$-1800y=13440-13620$$

將 13440 加到 -13620。

$$-1800y=-180$$

將兩邊同時除以 -1800。

$$y=\frac{1}{10}$$

在 120x+2205y=340.5 中以 \frac{1}{10} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

2205 乘上 \frac{1}{10}。

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

從方程式兩邊減去 \frac{441}{2}。

$$120x=120$$

將兩邊同時除以 120。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$