\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 2 } \\ { 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-1
y=-2
圖表
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4x-3y=2,2x+y=-4
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
4x-3y=2
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
4x=3y+2
將 3y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)
將兩邊同時除以 4。
x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}
\frac{1}{4} 乘上 3y+2。
2\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}\right)+y=-4
在另一個方程式 2x+y=-4 中以 \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。
\frac{3}{2}y+1+y=-4
2 乘上 \frac{3y}{4}+\frac{1}{2}。
\frac{5}{2}y+1=-4
將 \frac{3y}{2} 加到 y。
\frac{5}{2}y=-5
從方程式兩邊減去 1。
y=-2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}
在 x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-3+1}{2}
\frac{3}{4} 乘上 -2。
x=-1
將 \frac{1}{2} 與 -\frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-1,y=-2
現已成功解出系統。
4x-3y=2,2x+y=-4
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-3\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{3}{10}\left(-4\right)\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{2}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)
計算。
x=-1,y=-2
解出矩陣元素 x 和 y。
4x-3y=2,2x+y=-4
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 2,4\times 2x+4y=4\left(-4\right)
讓 4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。
8x-6y=4,8x+4y=-16
化簡。
8x-8x-6y-4y=4+16
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x-6y=4 減去 8x+4y=-16。
-6y-4y=4+16
將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-10y=4+16
將 -6y 加到 -4y。
-10y=20
將 4 加到 16。
y=-2
將兩邊同時除以 -10。
2x-2=-4
在 2x+y=-4 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x=-2
將 2 加到方程式的兩邊。
x=-1
將兩邊同時除以 2。
x=-1,y=-2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}