解決{l}{4x-2y-6=0}{4(8+x)+2(20y)-26=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y - 6 = 0 } \\ { 4 ( 8 + x ) + 2 ( 20 y ) - 26 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{19}{14} = 1\frac{5}{14} \approx 1.357142857$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-2y-6=0,4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-2y-6=0$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$4x-2y=6$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$4x=2y+6$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 6+2y。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 4\left(x+8\right)+40y-26=0 中以 \frac{3+y}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+8\right)+40y-26=0$$

將 \frac{3}{2} 加到 8。

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{19}{2}\right)+40y-26=0$$

4 乘上 \frac{19+y}{2}。

$$2y+38+40y-26=0$$

將 2y 加到 40y。

$$42y+38-26=0$$

將 38 加到 -26。

$$42y+12=0$$

從方程式兩邊減去 12。

$$42y=-12$$

將兩邊同時除以 42。

$$y=-\frac{2}{7}$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 -\frac{2}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{7}\right)+\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 -\frac{2}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{1}{7}+\frac{3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 -\frac{1}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{19}{14}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{19}{14},y=-\frac{2}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-2y-6=0,4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

化簡第二個方程式，使其成為標準式。

$$4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

4 乘上 x+8。

$$4x+32+40y-26=0$$

將 32 加到 -26。

$$4x+40y+6=0$$

從方程式兩邊減去 6。

$$4x+40y=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{84}\\-\frac{1}{42}&\frac{1}{42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6+\frac{1}{84}\left(-6\right)\\-\frac{1}{42}\times 6+\frac{1}{42}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{14}\\-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{19}{14},y=-\frac{2}{7}$$