解決{l}{4x-2y=8}{5x+3y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-2y=8$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$4x=2y+8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 8+2y。

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

在另一個方程式 5x+3y=-1 中以 \frac{y}{2}+2 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=-1$$

5 乘上 \frac{y}{2}+2。

$$\frac{5}{2}y+10+3y=-1$$

將 \frac{5y}{2} 加到 3y。

$$\frac{11}{2}y+10=-1$$

從方程式兩邊減去 10。

$$\frac{11}{2}y=-11$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{1}{2}y+2 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

\frac{1}{2} 乘上 -2。

$$x=-1+2$$

將 2 加到 -1。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 8+\frac{1}{11}\left(-1\right)\\-\frac{5}{22}\times 8+\frac{2}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

讓 4x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$5\times 4x+5\left(-2\right)y=5\times 8,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-1\right)$$

化簡。

$$20x-10y=40,20x+12y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x-10y=40 減去 20x+12y=-4。

$$20x-20x-10y-12y=40+4$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y-12y=40+4$$

將 -10y 加到 -12y。

$$-22y=40+4$$

將 40 加到 4。

$$-22y=44$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=-2$$

在 5x+3y=-1 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+3\left(-2\right)=-1$$

3 乘上 -2。

$$5x-6=-1$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$5x=5$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-2$$