解決{l}{4x-2y=6}{x+2y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-2y=6$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$4x=2y+6$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 6+2y。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 x+2y=4 中以 \frac{3+y}{2} 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+2y=4$$

將 \frac{y}{2} 加到 2y。

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1+3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\times 2-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{1}{10}\times 6+\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x-2y=6,4x+4\times 2y=4\times 4$$

化簡。

$$4x-2y=6,4x+8y=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-2y=6 減去 4x+8y=16。

$$4x-4x-2y-8y=6-16$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-8y=6-16$$

將 -2y 加到 -8y。

$$-10y=6-16$$

將 6 加到 -16。

$$-10y=-10$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=1$$

在 x+2y=4 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+2=4$$

從方程式兩邊減去 2。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$