解決{l}{4x+y=5}{3x+7y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 3 x + 7 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y+5$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y+5。

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 3x+7y=10 中以 \frac{-y+5}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+7y=10$$

3 乘上 \frac{-y+5}{4}。

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}+7y=10$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 7y。

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{4}=10$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{4}。

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{25}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-1+5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 -\frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-3}&-\frac{1}{4\times 7-3}\\-\frac{3}{4\times 7-3}&\frac{4}{4\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}\times 5-\frac{1}{25}\times 10\\-\frac{3}{25}\times 5+\frac{4}{25}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3y=3\times 5,4\times 3x+4\times 7y=4\times 10$$

化簡。

$$12x+3y=15,12x+28y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+3y=15 減去 12x+28y=40。

$$12x-12x+3y-28y=15-40$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-28y=15-40$$

將 3y 加到 -28y。

$$-25y=15-40$$

將 15 加到 -40。

$$-25y=-25$$

將兩邊同時除以 -25。

$$y=1$$

在 3x+7y=10 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+7=10$$

從方程式兩邊減去 7。

$$3x=3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$