解決{l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 4 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$4x+4y-3x+3y=10$$

合併 4x 和 -3x 以取得 x。

$$x+4y+3y=10$$

合併 4y 和 3y 以取得 7y。

$$x+7y=10$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3x+3y=2$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y+3y=2$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+7y=10$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$x=-7y+10$$

在另一個方程式 -x+5y=2 中以 -7y+10 代入 x在方程式。

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

-1 乘上 -7y+10。

$$7y-10+5y=2$$

將 7y 加到 5y。

$$12y-10=2$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$12y=12$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=1$$

在 x=-7y+10 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-7+10$$

將 10 加到 -7。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 4 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$4x+4y-3x+3y=10$$

合併 4x 和 -3x 以取得 x。

$$x+4y+3y=10$$

合併 4y 和 3y 以取得 7y。

$$x+7y=10$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3x+3y=2$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y+3y=2$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 4 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$4x+4y-3x+3y=10$$

合併 4x 和 -3x 以取得 x。

$$x+4y+3y=10$$

合併 4y 和 3y 以取得 7y。

$$x+7y=10$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3x+3y=2$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y+3y=2$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

讓 x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -x-7y=-10 減去 -x+5y=2。

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

將 -x 加到 x。 -x 和 x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-7y-5y=-10-2$$

將 -7y 加到 -5y。

$$-12y=-10-2$$

將 -10 加到 -2。

$$-12y=-12$$

將兩邊同時除以 -12。

$$y=1$$

在 -x+5y=2 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+5=2$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-x=-3$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$