解決{l}{3x-y=6}{5x+y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 5 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=6,5x+y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=6$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+6。

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

在另一個方程式 5x+y=10 中以 \frac{y}{3}+2 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{1}{3}y+2\right)+y=10$$

5 乘上 \frac{y}{3}+2。

$$\frac{5}{3}y+10+y=10$$

將 \frac{5y}{3} 加到 y。

$$\frac{8}{3}y+10=10$$

從方程式兩邊減去 10。

$$\frac{8}{3}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=\frac{1}{3}y+2 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=6,5x+y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=6,5x+y=10$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 6,3\times 5x+3y=3\times 10$$

化簡。

$$15x-5y=30,15x+3y=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-5y=30 減去 15x+3y=30。

$$15x-15x-5y-3y=30-30$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y-3y=30-30$$

將 -5y 加到 -3y。

$$-8y=30-30$$

將 30 加到 -30。

$$-8y=0$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=0$$

在 5x+y=10 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x=10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=0$$