解決{l}{3x-5y=6}{6x+7y=-5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 6 } \\ { 6 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-5y=6$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$3x=5y+6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 5y+6。

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

在另一個方程式 6x+7y=-5 中以 \frac{5y}{3}+2 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{5}{3}y+2\right)+7y=-5$$

6 乘上 \frac{5y}{3}+2。

$$10y+12+7y=-5$$

將 10y 加到 7y。

$$17y+12=-5$$

從方程式兩邊減去 12。

$$17y=-17$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=-1$$

在 x=\frac{5}{3}y+2 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\left(-1\right)+2$$

\frac{5}{3} 乘上 -1。

$$x=-\frac{5}{3}+2$$

將 2 加到 -\frac{5}{3}。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}&\frac{5}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}\times 6+\frac{5}{51}\left(-5\right)\\-\frac{2}{17}\times 6+\frac{1}{17}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

讓 3x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$6\times 3x+6\left(-5\right)y=6\times 6,3\times 6x+3\times 7y=3\left(-5\right)$$

化簡。

$$18x-30y=36,18x+21y=-15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x-30y=36 減去 18x+21y=-15。

$$18x-18x-30y-21y=36+15$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-30y-21y=36+15$$

將 -30y 加到 -21y。

$$-51y=36+15$$

將 36 加到 15。

$$-51y=51$$

將兩邊同時除以 -51。

$$y=-1$$

在 6x+7y=-5 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+7\left(-1\right)=-5$$

7 乘上 -1。

$$6x-7=-5$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$6x=2$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$