解決{l}{3x+5y=-3}{2x+3y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 3 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=-3$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y-3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-3\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y-3。

$$x=-\frac{5}{3}y-1$$

在另一個方程式 2x+3y=-1 中以 -\frac{5y}{3}-1 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{5}{3}y-1\right)+3y=-1$$

2 乘上 -\frac{5y}{3}-1。

$$-\frac{10}{3}y-2+3y=-1$$

將 -\frac{10y}{3} 加到 3y。

$$-\frac{1}{3}y-2=-1$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{1}{3}y=1$$

將兩邊同時乘上 -3。

$$y=-3$$

在 x=-\frac{5}{3}y-1 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-1$$

-\frac{5}{3} 乘上 -3。

$$x=5-1$$

將 -1 加到 5。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-3\right)+5\left(-1\right)\\2\left(-3\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

化簡。

$$6x+10y=-6,6x+9y=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+10y=-6 減去 6x+9y=-3。

$$6x-6x+10y-9y=-6+3$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-9y=-6+3$$

將 10y 加到 -9y。

$$y=-6+3$$

將 -6 加到 3。

$$y=-3$$

在 2x+3y=-1 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+3\left(-3\right)=-1$$

3 乘上 -3。

$$2x-9=-1$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$2x=8$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-3$$