\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 10 } \\ { 7 x - 8 y = - 2 } \end{array} \right.
解 x、y
x=2
y=2
圖表
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3x+2y=10,7x-8y=-2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x+2y=10
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=-2y+10
從方程式兩邊減去 2y。
x=\frac{1}{3}\left(-2y+10\right)
將兩邊同時除以 3。
x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}
\frac{1}{3} 乘上 -2y+10。
7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}\right)-8y=-2
在另一個方程式 7x-8y=-2 中以 \frac{-2y+10}{3} 代入 x在方程式。
-\frac{14}{3}y+\frac{70}{3}-8y=-2
7 乘上 \frac{-2y+10}{3}。
-\frac{38}{3}y+\frac{70}{3}=-2
將 -\frac{14y}{3} 加到 -8y。
-\frac{38}{3}y=-\frac{76}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{70}{3}。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{38}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{10}{3}
在 x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-4+10}{3}
-\frac{2}{3} 乘上 2。
x=2
將 \frac{10}{3} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=2,y=2
現已成功解出系統。
3x+2y=10,7x-8y=-2
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 7}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{3\left(-8\right)-2\times 7}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{7}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-2\right)\\\frac{7}{38}\times 10-\frac{3}{38}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=2,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
3x+2y=10,7x-8y=-2
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
7\times 3x+7\times 2y=7\times 10,3\times 7x+3\left(-8\right)y=3\left(-2\right)
讓 3x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
21x+14y=70,21x-24y=-6
化簡。
21x-21x+14y+24y=70+6
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 21x+14y=70 減去 21x-24y=-6。
14y+24y=70+6
將 21x 加到 -21x。 21x 和 -21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
38y=70+6
將 14y 加到 24y。
38y=76
將 70 加到 6。
y=2
將兩邊同時除以 38。
7x-8\times 2=-2
在 7x-8y=-2 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
7x-16=-2
-8 乘上 2。
7x=14
將 16 加到方程式的兩邊。
x=2
將兩邊同時除以 7。
x=2,y=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}