解決{l}{3x+2=4y}{x+y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$3x+2-4y=0$$

從兩邊減去 2。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-4y=-2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-4y=-2$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$3x=4y-2$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 4y-2。

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 x+y=10 中以 \frac{4y-2}{3} 代入 x在方程式。

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

將 \frac{4y}{3} 加到 y。

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

將 \frac{2}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{32}{7}$$

在 x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3} 中以 \frac{32}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

\frac{4}{3} 乘上 \frac{32}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

將 -\frac{2}{3} 與 \frac{128}{21} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{38}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$3x+2-4y=0$$

從兩邊減去 2。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-4y=-2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$3x+2-4y=0$$

從兩邊減去 2。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-4y=-2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

化簡。

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-4y=-2 減去 3x+3y=30。

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-3y=-2-30$$

將 -4y 加到 -3y。

$$-7y=-2-30$$

將 -2 加到 -30。

$$-7y=-32$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=\frac{32}{7}$$

在 x+y=10 中以 \frac{32}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+\frac{32}{7}=10$$

從方程式兩邊減去 \frac{32}{7}。

$$x=\frac{38}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$