解決{l}{3(x+y)+2(x-y)=18}{2(x+y)-(x-y)=-4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 2 ( x - y ) = 18 } \\ { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = - 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$y = -\frac{19}{7} = -2\frac{5}{7} \approx -2.714285714$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2x-2y=18$$

合併 3x 和 2x 以取得 5x。

$$5x+3y-2y=18$$

合併 3y 和 -2y 以取得 y。

$$5x+y=18$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

若要尋找 x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2x+2y-x+y=-4$$

合併 2x 和 -x 以取得 x。

$$x+2y+y=-4$$

合併 2y 和 y 以取得 3y。

$$x+3y=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+y=18$$

從方程式兩邊減去 y。

$$5x=-y+18$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+18\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -y+18。

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}$$

在另一個方程式 x+3y=-4 中以 \frac{-y+18}{5} 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}+3y=-4$$

將 -\frac{y}{5} 加到 3y。

$$\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

從方程式兩邊減去 \frac{18}{5}。

$$\frac{14}{5}y=-\frac{38}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{14}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{19}{7}$$

在 x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5} 中以 -\frac{19}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{19}{7}\right)+\frac{18}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 -\frac{19}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{19}{35}+\frac{18}{5}$$

將 \frac{18}{5} 與 \frac{19}{35} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{29}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2x-2y=18$$

合併 3x 和 2x 以取得 5x。

$$5x+3y-2y=18$$

合併 3y 和 -2y 以取得 y。

$$5x+y=18$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

若要尋找 x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2x+2y-x+y=-4$$

合併 2x 和 -x 以取得 x。

$$x+2y+y=-4$$

合併 2y 和 y 以取得 3y。

$$x+3y=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-1}&-\frac{1}{5\times 3-1}\\-\frac{1}{5\times 3-1}&\frac{5}{5\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 18-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{14}\times 18+\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\-\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2x-2y=18$$

合併 3x 和 2x 以取得 5x。

$$5x+3y-2y=18$$

合併 3y 和 -2y 以取得 y。

$$5x+y=18$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

若要尋找 x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2x+2y-x+y=-4$$

合併 2x 和 -x 以取得 x。

$$x+2y+y=-4$$

合併 2y 和 y 以取得 3y。

$$x+3y=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

讓 5x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5x+y=18,5x+5\times 3y=5\left(-4\right)$$

化簡。

$$5x+y=18,5x+15y=-20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+y=18 減去 5x+15y=-20。

$$5x-5x+y-15y=18+20$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-15y=18+20$$

將 y 加到 -15y。

$$-14y=18+20$$

將 18 加到 20。

$$-14y=38$$

將兩邊同時除以 -14。

$$y=-\frac{19}{7}$$

在 x+3y=-4 中以 -\frac{19}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+3\left(-\frac{19}{7}\right)=-4$$

3 乘上 -\frac{19}{7}。

$$x-\frac{57}{7}=-4$$

將 \frac{57}{7} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{29}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$