解決{l}{200x+300y=360}{300x+200y=340} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$200x+300y=360$$

從方程式兩邊減去 300y。

$$200x=-300y+360$$

將兩邊同時除以 200。

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

\frac{1}{200} 乘上 -300y+360。

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

在另一個方程式 300x+200y=340 中以 -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} 代入 x在方程式。

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

300 乘上 -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}。

$$-450y+540+200y=340$$

將 -450y 加到 200y。

$$-250y+540=340$$

從方程式兩邊減去 540。

$$-250y=-200$$

將兩邊同時除以 -250。

$$y=\frac{4}{5}$$

在 x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5} 中以 \frac{4}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

-\frac{3}{2} 乘上 \frac{4}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

將 \frac{9}{5} 與 -\frac{6}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{3}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

讓 200x 和 300x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 300，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 200。

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

化簡。

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 60000x+90000y=108000 減去 60000x+40000y=68000。

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

將 60000x 加到 -60000x。 60000x 和 -60000x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$90000y-40000y=108000-68000$$

將 90000y 加到 -40000y。

$$50000y=108000-68000$$

將 108000 加到 -68000。

$$50000y=40000$$

將兩邊同時除以 50000。

$$y=\frac{4}{5}$$

在 300x+200y=340 中以 \frac{4}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

200 乘上 \frac{4}{5}。

$$300x+160=340$$

從方程式兩邊減去 160。

$$300x=180$$

將兩邊同時除以 300。

$$x=\frac{3}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$