解決{l}{2x+y=5}{-x+5y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { - x + 5 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+5$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+5。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 -x+5y=3 中以 \frac{-y+5}{2} 代入 x在方程式。

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=3$$

-1 乘上 \frac{-y+5}{2}。

$$\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+5y=3$$

將 \frac{y}{2} 加到 5y。

$$\frac{11}{2}y-\frac{5}{2}=3$$

將 \frac{5}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{11}{2}y=\frac{11}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

將 \frac{5}{2} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\times 5-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 5-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\times 5-\frac{1}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2x-y=-5,2\left(-1\right)x+2\times 5y=2\times 3$$

化簡。

$$-2x-y=-5,-2x+10y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-y=-5 減去 -2x+10y=6。

$$-2x+2x-y-10y=-5-6$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-10y=-5-6$$

將 -y 加到 -10y。

$$-11y=-5-6$$

將 -5 加到 -6。

$$-11y=-11$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=1$$

在 -x+5y=3 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+5=3$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-x=-2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$