解決{l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1.1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1.1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{213}{140} = 1\frac{73}{140} = 1.5214285714285714$$

$$y=\frac{349}{70}-n$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=18-n$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y+18-n$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y+18-n。

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

在另一個方程式 4x-y=5n+1.1 中以 -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1.1$$

4 乘上 -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}。

$$-6y+36-2n-y=5n+1.1$$

將 -6y 加到 -y。

$$-7y+36-2n=5n+1.1$$

從方程式兩邊減去 36-2n。

$$-7y=7n-34.9$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=\frac{349}{70}-n$$

在 x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9 中以 -n+\frac{349}{70} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{349}{70}-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

-\frac{3}{2} 乘上 -n+\frac{349}{70}。

$$x=\frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}-\frac{n}{2}+9$$

將 9-\frac{n}{2} 加到 \frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}。

$$x=n+\frac{213}{140}$$

現已成功解出系統。

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1.1\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1.1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{213}{140}\\\frac{349}{70}-n\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1.1\right)$$

化簡。

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+2.2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+12y=72-4n 減去 8x-2y=10n+2.2。

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

將 12y 加到 2y。

$$14y=72-4n-10n-2.2$$

將 72-4n 加到 -10n-2.2。

$$14y=69.8-14n$$

將兩邊同時除以 14。

$$y=\frac{349}{70}-n$$

在 4x-y=5n+1.1 中以 \frac{349}{70}-n 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-\left(\frac{349}{70}-n\right)=5n+1.1$$

從方程式兩邊減去 -\frac{349}{70}+n。

$$4x=4n+\frac{213}{35}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=n+\frac{213}{140}$$

現已成功解出系統。

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$