\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 1 } \\ { 4 x + y = 3 } \end{array} \right.
解 x、y
x=1
y=-1
圖表
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2x+3y=-1,4x+y=3
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+3y=-1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-3y-1
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{2}\left(-3y-1\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}
\frac{1}{2} 乘上 -3y-1。
4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=3
在另一個方程式 4x+y=3 中以 \frac{-3y-1}{2} 代入 x在方程式。
-6y-2+y=3
4 乘上 \frac{-3y-1}{2}。
-5y-2=3
將 -6y 加到 y。
-5y=5
將 2 加到方程式的兩邊。
y=-1
將兩邊同時除以 -5。
x=-\frac{3}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}
在 x=-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{3-1}{2}
-\frac{3}{2} 乘上 -1。
x=1
將 -\frac{1}{2} 與 \frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=-1
現已成功解出系統。
2x+3y=-1,4x+y=3
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\left(-1\right)+\frac{3}{10}\times 3\\\frac{2}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=-1
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+3y=-1,4x+y=3
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
4\times 2x+4\times 3y=4\left(-1\right),2\times 4x+2y=2\times 3
讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
8x+12y=-4,8x+2y=6
化簡。
8x-8x+12y-2y=-4-6
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+12y=-4 減去 8x+2y=6。
12y-2y=-4-6
將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
10y=-4-6
將 12y 加到 -2y。
10y=-10
將 -4 加到 -6。
y=-1
將兩邊同時除以 10。
4x-1=3
在 4x+y=3 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
4x=4
將 1 加到方程式的兩邊。
x=1
將兩邊同時除以 4。
x=1,y=-1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}