解決{l}{2a=3b-1}{2a+b=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b - 1 } \\ { 2 a + b = 3 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=1$$

$$b=1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3b。

$$2a-3b=-1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$2a-3b=-1$$

將 3b 加到方程式的兩邊。

$$2a=3b-1$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{1}{2}\left(3b-1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 3b-1。

$$a=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 2a+b=3 中以 \frac{3b-1}{2} 代入 a在方程式。

$$2\left(\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}\right)+b=3$$

2 乘上 \frac{3b-1}{2}。

$$3b-1+b=3$$

將 3b 加到 b。

$$4b-1=3$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$4b=4$$

將兩邊同時除以 4。

$$b=1$$

在 a=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2} 中以 1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{3-1}{2}$$

將 -\frac{1}{2} 與 \frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=1$$

現已成功解出系統。

$$a=1,b=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3b。

$$2a-3b=-1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=1,b=1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3b。

$$2a-3b=-1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2a-3b=-1,2a+b=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2a-3b=-1 減去 2a+b=3。

$$2a-2a-3b-b=-1-3$$

將 2a 加到 -2a。 2a 和 -2a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3b-b=-1-3$$

將 -3b 加到 -b。

$$-4b=-1-3$$

將 -1 加到 -3。

$$-4b=-4$$

將兩邊同時除以 -4。

$$b=1$$

在 2a+b=3 中以 1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$2a+1=3$$

從方程式兩邊減去 1。

$$2a=2$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=1$$

現已成功解出系統。

$$a=1,b=1$$